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items: 清华大学计算机考研线下开卷机试考试须知
items: 清华大学计算机系本科数据结构期中期末题分类解析
items: 一道易错的定积分的本质
items: 2016-2026清华计算机考研826真题
items: 变上限积分函数的等价无穷小代换要注意的问题

清华大学计算机考研线下开卷机试考试须知
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date: 2025-07-15T01:00:00+00:00
description: 每年的这个机试考试须知都差不多的,这个仅供参考,各位考生请以当年的为准。线下开卷机试考试须知.pdf

清华大学计算机系本科数据结构期中期末题分类解析
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date: 2025-04-12T09:07:00+00:00
description: 826相关内容归档点这里关注一下公众号【新威考研】呗,有课程链接,这个解析我会不断更新,但进度肯定慢,别催我,另外如果你觉得解析有问题,可以联系我,我微信：xinweikaoyan001如果有公式显示不出来，就稍等一会，如果还是显示不出来，要么是你浏览器问题，要么是你网络的问题 function toggleAnswer(id, button) { var table = document.getElementById(id); // 切换表格显示状态 if (table.style.display === "table") { table.style.display = "none"; // 切换按钮文字为"查看答案与解析" button.innerHTML = "查看答案与解析"; } else { table.style.display = "table"; // 切换按钮文字为"隐藏答案与解析" button.innerHTML = "隐藏答案与解析"; } } 绪论大$O,\Omega,\Theta$记号1.$f(n)=O(g(n))$,当且仅当$g(n)=\Omega (f(n))$.（2010期中,判断） 查看答案与解析 答案:对 按照O符号定义,$f(n)=O(g(n))$,则存在$c>0,N>0$,当$n>N$时有$f(n)\lt cg(n)$成立,则令$d=\frac{1}{c}$则有$g(n)>df(n)$成立,即$g(n)=\Omega (f(n))$成立. 2.即便有$f(n) =O(g(n))$,也未必有$2^{f\left( n \right)}=O\left( 2^{g\left( n \right)} \right)$（2014期中,判断） 查看答案与解析 答案:对 例子:$f\left( n \right) =2n,g\left( n \right) =n$,有$f\left( n \right) =O\left( g\left( n \right) \right)$,但$2^{2n}\ne O\left( 2^n \right)$,即$2^{f\left( n \right)}\ne O\left( 2^{g\left( n \right)} \right) $,对于这类判断题一定不要想当然. 3.若$f(n)=O\left(n^2\right)$且$g(n)=O(n)$,则以下结论正确的是：( )（2010期中,不定项选择）$~~$A.$f(n)+g(n)=O\left(n^2\right)$$~~$B.$\frac{f\left( n \right)}{g\left( n \right)}=O\left( n \right)$$~~$C.$g(n)=O(f(n))$$~~$D.$f(n)\times g(n)=O\left(n^3\right)$ 查看答案与解析 答案:AD 由题意可知:$\exists c_1$,$N_1 \gt 0$,当$n \gt N_1$时,有$f\left( n \right) \lt c_1n^2$.$\exists c_2$,$N_2 \gt 0$,当$n \gt N_2$时,有$g\left( n \right) \lt c_2n$.我们令$N_3=\max \left\{ N_1,N_2 \right\} $,$c_3=\max \left\{ c_1,c_2 \right\}$. A选项:当$n \gt N_3$时,有$f\left( n \right) +g\left( n \right) \lt 2c_3n^2$. B选项反例:$f(n)=n^2,g(n)=\sqrt{n}$. C选项反例:$f(n)=\sqrt{n},g(n)=n$. D选项:当$n \gt N_3$时,有$f\left( n \right) \times g\left( n \right) \lt c_1c_2n^3$. 4.算法$g(n)$的复杂度为$\Theta(n)$.若算法$f(n)$中有5条调用$g(n)$的指令,则$f(n)$的复杂度为（ ）（2010期中,不定项选择） $~~$A.$\Theta(n)~~~~$B.$O(n)~~~~$C.$\Omega \left( n \right)~~~~$D.不确定 查看答案与解析 答案:D 因为只是有调用$g(n)$的指令,不代表实际调用了,可能在$if$语句里面调用的,如果$if$语句条件不满足则可能不调用. 时间复杂度的分析1.给出函数F(n)复杂度的紧界（假定int字长无限,移位属基本操作,且递归不会溢出）（2010期中）//第(1)题 void F(int n) //O( ) { for (int i = 1,r…

一道易错的定积分的本质
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date: 2024-07-27T13:24:23+00:00
description: 易错的定积分的本质

2016-2026清华计算机考研826真题
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date: 2024-07-27T12:38:00+00:00
description: 826相关内容归档点这里更新日志(最新版本为2026.1.7版本)：2026.1.7,纠正了一个错别字,把26真题合并到了2016-2026年826真题合集（按年份划分）和2016-2026年826真题合集（按知识点划分）两个pdf文件中.2025.12.22,纠正了几个错别字,上传了26真题回忆版.2016-2026年826真题合集（按年份划分）.pdf2016-2026年826真题合集（按知识点划分）.pdf

变上限积分函数的等价无穷小代换要注意的问题
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date: 2024-07-27T07:58:00+00:00
description: 变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用，这里有些老师讲课的时候都没有注意到，变上限积分函数等价无穷小代换的前提条件。以下结论是错误的$x\rightarrow 0$时，$g(x) \sim h(x)$，且$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} {f(x)} = 0$,则有$$\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t \sim \int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t$$一个“假”的反例有小伙伴认为，如果$$g(x)=x^2+x^3 \sin \frac{1}{x}, h(x)=x^2, f(x)=x$$可以得到$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 \sin \frac{1}{x}-x \cos \frac{1}{x}+2 x}{2 x} $$极限“不存在”就说这是一个反例。实际上这是一个“假”的反例，事实上$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)-h(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^3 \sin \frac{1}{x}} t \mathrm{~d} t}{\int_0^{x^2} t \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^6 \sin ^2 \frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^4}=0 $$也就是说$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=1 $$真正的反例$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2}} \mathrm{~d} t}{\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2} \mathrm{~d} t}} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{1}{\sin ^2 x} }\cdot \cos x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}}=\mathrm{e}^{\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}} \\ & =\mathrm{e}^{\frac{1}{3}} \neq 1 \end{aligned} $$这个被积函数是怎么想出来的呢？我们先看一个结论的证明。变上限积分函数的等价无穷小代换的结论和证明当$x\rightarrow 0$时，$g(x) \sim h(x)$，且$\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=1$（这个条件给的很强，比如前面的“假”的反例就不满足，不过考研当中经常可以满足），且在$x=0$的某去心邻域内$g(x) \neq 0, h(x) \neq 0$，则有$$ \int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t \sim \int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t, m>0 $$其中$m>0$，证明：$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t}{\int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)…